Turunan Fungsi f(x) =
$\sqrt{2x–7}$
Menggunakan Definisi Limit

Pada artikel ini kita akan membahas cara mencari turunan fungsi
$f\left(x\right)=\sqrt{2x–7}$
dengan menggunakan definisi turunan sebagai limit, bukan langsung dengan aturan rantai.

1. Definisi Turunan Sebagai Limit

Secara umum, turunan fungsi pada titik x didefinisikan sebagai:

$$f‘\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)–f\left(x\right)}{h}$$

2. Menentukan F(x) Dan F(x + H)

Fungsi yang diberikan adalah:

$$f\left(x\right)=\sqrt{2x–7}$$

Untuk $f(x+h)$ kita substitusi x dengan x + h:

$$f(x+h)=\sqrt{2(x+h)–7}=\sqrt{2x+2h–7}$$

3. Membentuk Selisih Dan Pecahan Limit

Masukkan $f(x+h)$ dan $f\left(x\right)$ ke dalam definisi turunan:

$$f‘\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{2x+2h–7}–\sqrt{2x–7}}{h}$$

Bentuk ini masih sulit dievaluasi langsung, sehingga kita akan mengalikan dengan sekawan (conjugate) dari pembilang.

4. Mengalikan Dengan Sekawan

Kita kalikan dan bagi dengan sekawan:

$$f‘\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{2x+2h–7}–\sqrt{2x–7}}{h}·\frac{\sqrt{2x+2h–7}+\sqrt{2x–7}}{\sqrt{2x+2h–7}+\sqrt{2x–7}}$$

Di pembilang berlaku rumus:

$$(\sqrt{A}–\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A–B$$

Dengan

$A=2x+2h–7,B=2x–7$

Maka:

$$A–B=(2x+2h–7)–(2x–7)=2h$$

Sehingga bentuk pecahan menjadi:

$$f‘\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2h}{h(\sqrt{2x+2h–7}+\sqrt{2x–7})}$$

Faktor $h$ di pembilang dan penyebut dapat disederhanakan (untuk h ≠ 0):

$$f‘\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2}{\sqrt{2x+2h–7}+\sqrt{2x–7}}$$

5. Mengambil Limit Saat H → 0

Saat $h\to 0$, kita peroleh:

$$\sqrt{2x+2h–7}\to \sqrt{2x–7}$$

Sehingga:

$$f‘\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{2x–7}+\sqrt{2x–7}}=\frac{2}{2\sqrt{2x–7}}=\frac{1}{\sqrt{2x–7}}$$

6. Hasil Akhir Dan Daerah Definisi

Dengan demikian turunan fungsi adalah:

$$f‘\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x–7}}$$

Untuk fungsi dan turunannya agar terdefinisi dalam bilangan real, ekspresi di dalam akar harus positif:

$$2x–7>0\Rightarrow x>\frac{7}{2}$$

Jadi, untuk $x>\frac{7}{2}$, turunan fungsi
$f\left(x\right)=\sqrt{2x–7}$
adalah
$f‘\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x–7}}$.